大部分学生在推导过程中感受到了“思路简单、运算困难”■◆◆◆■◆，同时也对寻找一种■◆■★★“简单”的推导办法有了强烈的兴趣与欲望。◆★◆◆“我感觉难点在于Q点坐标表达式过于复杂，不利于计算■■。所以，如果想简化运算★◆■★★，可以尝试避开求Q点的坐标◆■。”一个学生说。紧接着另一个学生站起来自信地说：“我想到一个方法，可以过点P分别作平行于x轴◆■、y轴的直线■◆■★★★，交直线l于M、N两点，从而将点P到直线l的距离转化为直角三角形PMN斜边上的高★■★■◆◆。”正当大家还为这个同学的方法叫好时，又一个学生举手说：“我们可以利用向量工具来解决：任取直线上一点R◆★■，求向量到直线l的法向量的投影向量，而投影向量的长度就是所要求的距离★◆◆◆。★★”此时★★■，学生已经“沉浸”于寻找不同的方法与思路★★。随着推导方法的不断“创新”★■■，学生也从联系的观点逐步看到“距离”的本质。就在即将转入下一个教学环节时，突然有一个学生举起了手★■：■★■■“我们已经计算出了原点到直线l的距离，此时只要过点P作一条平行于直线l的直线m■★◆，要求的距离就可以转化为求原点到直线l与直线m的距离之差即可。”

　　课堂上的这个问题有效激活了学生的思维，使学生在该问题的分析、解决中经历★■◆★★“再发现”的过程。在此过程中，学生对其蕴含的数学思想和数学学习方法的理解是深刻的，发现结论的“成就感”是强烈的，对其数学学习的影响自然也是深远的。问题是数学的心脏，好的问题更是让课堂成为学生自主探究与学习之旅的“起跑器”和◆★◆★“助推器”◆◆★◆★。

　　“沉浸式”主动学习源于好的情境。为了让数学知识更具体、更有趣◆★★■■，教师可以根据教学任务创设适当的情境，激发学生的学习兴趣，调动他们的积极性和探究意识，引导学生用数学的眼光发现问题，用数学的语言描述问题，用数学的思维解决问题。

　　学生在自主梳理中■★◆★，不仅回顾了从自然数集扩充到实数集的过程，还意识到扩充后的新数集应当与原来的旧数集保持运算的一致性★■■◆★◆，即加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。

　　例如★■★★★◆，我曾在一次名师工作室展示课活动中执教《复数的概念》一课■◆。为了让学生了解虚数以及复数引入的曲折过程■■■◆，体会数学家在数系扩充过程中所展现的想象力■■◆★、创造力和不屈不挠精神，我设计了如下情境。

　　“层进式”自主探究源于好的问题。好的问题指向高阶思维发展、直击数学本质◆■★★★★。好的问题能充分调动学生已有的数学知识，使学生在学习过程中积极建构、层层递进，进而从■◆“学会数学★◆★★■”向◆◆■“会学数学”转变，这恰恰是驱动学生深度学习的关键■◆◆★■◆。

　　【问题】将点P到直线l的距离转化为两点（点P与垂足Q）间距离的过程中，你认为难点在哪？你能否避开难点◆★■，给出一种新的推导方法◆■◆◆？

　　数学核心素养关系到学生的未来发展◆★■◆，数学核心素养的培育离不开学生的自主学习。教师创设遵守◆★“两个符合（符合学生认知规则、符合知识内在逻辑）”的好情境，设计富含思维的好问题，从★★★★“沉浸◆■■”到★■★■★“层进”不仅能让学生积极主动参与课堂教学活动★★★，还能帮助学生深刻理解知识本质■★★■◆，让课堂教学成为学生自主思考、自主探究■◆★◆■、自主发展的愉快场所■■◆。

　　这个在当时是无法理解的等式。同学们★★★■◆★，如果你们是这位数学家，遇到这样的问题该怎么办◆◆★★◆？

　　上述情境与思考引出了本节课的核心任务：抓住知识的“生长点”和学生的“最近发展区◆◆★”■◆★■，使学生不知不觉沉浸在复数的发展史中，并通过产生认知冲突■★◆■■■，激发学生对数系扩充的欲望与猜想◆★■■◆，之后又在学生自主交流中梳理出数系不断扩充的原因以及数系扩充所需要满足的规则。而这，也恰恰是我们所关注的“知识之后★■■◆◆◆”的学科思维和核心素养■★。

　　（作者单位系浙江省温州市第二十二中学★◆，本文系浙江省教育科学规划2024年度一般规划课题“基于核心问题的高中数学结构化教学实践研究”阶段性研究成果，课题编号：2024SC281）

　　【思考】引入一个新数意味着要对实数集进行适当扩充。回顾我们从自然数集逐步扩充到实数集★★◆★，你们还记得每一次数集扩充的主要原因是什么◆■？分别解决了什么实际问题和数学问题？

　　我们常说★◆，教育要以学生为中心■★◆◆，要从教师主导的传统模式向更加注重学生个体需求、能力发展和主动参与的方向转变■◆■◆★。数学教学只有真正发挥学生学习的自主性★◆★，才能有效发挥数学育人功能◆■★■★★，发展学生的高阶思维能力，进而推动学生数学核心素养的发展。那么■■◆★，如何在课堂上让学习真正发生，使学生成为课堂的主人◆★★◆，这也成为数学教学的核心与关键。而好的情境与问题可以创造一个高度吸引学生的课堂环境★★◆，从而帮助学生形成递进式思维场域，引领学生学习从“沉浸”到◆★“层进”，让课堂成为学生的自主学习之旅■★★■◆。

　　这时，“通过引入新数来解决新问题”的学习目标已基本达成■■■◆。我便顺势指出：“其实◆◆◆◆，数学家欧拉最早引入i来表示一个数，它的平方等于-1■■★。它取自imaginary（想象的★■■◆★★，假想的）一词的词头■★◆■◆。”同时，我也抛出另一个思考：

　　【创设情境】我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，当Δ=b2-4ac0时没有实数根■■◆★。事实上，数学家在研究方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他们一直在回避。直到1545年，数学家在研究一些特殊的实系数一元三次方程时，他们知道这个问题不能再回避了。例如，求解x3=15x+4时，利用三次方程的求根公式可以得出三个根：

　　例如，我曾在一次温州市高中数学教研组长培训活动中执教《点到直线的距离公式》一课◆★■■★。在引导学生自主建构、推导点到直线的距离公式过程中，我设计了如下问题■★：

　　沉默了一会儿后，有学生站起来说：“既然上面的等式成立，就说明负实数可以开平方。”“我们知道在实数范围内，只有非负数才能开平方，这是矛盾的■■■。”另一个学生马上补充■■■■■◆。★■“会不会存在实数范围外的数◆■◆★，它的平方是一个负数呢？”又一个学生站起来说。话音刚落■★◆■★◆，一个学生接着说：“我觉得可以假定有一个数，他的平方是负数，并且只要规定它的平方等于-1就可以了■★★。比如，不妨规定这个数为i★★★，那么-121=121×i2■★◆★◆★。”“哦对了，就是说这个数还要能与实数进行运算。”这位学生补充。